Question

已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于对称，且在区间上是单调函数，则满足条件的实数对（ω，φ）有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点 对称可得函数关系 ，进而可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．
【解析】
由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，对任意x都成立，且ω＞0，
所以得cos∅=0．
依题设0≤∅≤π，所以解得∅=．
所以函数y=sin（ωx+）．
由f（x）的图象关于点M对称，可得，
取x=0，可得f（）=sin（）=cos=0，
又因为ω＞0，
所以，k=1，2，3，
所以（2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，，则f（x）=sin（x+）在区间上是单调减函数，
当k=1时，ω=2，则f（x）=sin（2x+）在区间上是单调减函数，
当k≥2时，f（x）=sin（ωx+）在区间上不是单调函数，
所以或者ω=2．
故选B．