2008-2009学年江苏省苏州市（五市三区）高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数Z=-1+5i，则|Z|=    ．

2. 难度：中等

函数f（x）=x²+ax+b，x∈R为偶函数的充要条件为    ．

3. 难度：中等

准线方程为y=的抛物线的标准方程为    ．

4. 难度：中等

从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛，如果4人中既有男生又有女生，则共有     种不同的选法（用数字作答）

5. 难度：中等

（n∈，n≥3）展开式中的第4项是常数项，则n=    ．

6. 难度：中等

设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为    ．

7. 难度：中等

过点P（-2，1）作直线l，使原点到直线l得距离最大，则直线l的方程为    ．

8. 难度：中等

有4道选择题，每道选择题有4个选择支，其中有且只有一个选择支是正确的．有位学生随意选了其中一道题，然后又随意选了一个选择支，那么他答对的概率为    ．

9. 难度：中等

函数f（x）=2sinx-x在[0，π]上的最大值是    ．

10. 难度：中等

两圆相交于两点（1，5）和 （a，3），两圆的圆心在直线x-y+b=0上，则a+b=    ．

11. 难度：中等

在正四面体PABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点．给出下面四个结论：
①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC，
其中所有不正确的结论的序号是    ．

12. 难度：中等

已知正整数数列：1，2，3，4，5，…，将其中的完全平方数删去，形成一个新的数列2，3，5，…，则新数列的第100项是    ．

13. 难度：中等

曲线y=x²-6x+13与直线y=x+3所围成的区域面积为    ．

14. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=1和点A（2，1），过圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA．若以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，则圆P的半径的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

甲，乙，丙三名射击运动员进行设计比赛，已知他们击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.5，现他们三人分别向目标个射击依次，记目标被击中的次数为X．
（1）求随机变量X的概率分布；
（2）求随机变量X的数学期望．

16. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点
（1）求证：D₁B₁⊥AE；
（2）求D₁B₁与平面ABE所成角θ的正弦值．

17. 难度：中等

已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x+y=4上．
（1）求半径最小时的圆C的方程；
（2）求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．

18. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E为AB的中点，现将△AED沿DE折起，使点A到点P处，满足PB=PC，设M、H分别为PC、DE的中点．
（1）求证：BM∥平面PDE；
（2）线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面PHN？试证明你的结论；
（3）求△PBC的面积．

19. 难度：中等

已知a，b∈R，函数f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得极值
（1）求a与b的关系式；
（2）若y=f（x）的单调减区间的长度不小于2，求a的取值范围（注：区间[m，n]的长度为n-m）；
（3）若不等式f（x）≥x-2对一切x≥3恒成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，F₁F₂分别是椭圆C的左，右焦点，直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点为A，△AF₁F₂的面积为2，点P（x，y），是椭圆C上的动点w．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若∠F₁PF₂为钝角，求点P的横坐标x的取值范围；
（3）求PF₁+PA的最小值．

21. 难度：中等

如图，圆O的直径AB=6，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，求CD及∠CBD．

22. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC到D，使CD=BC，CE⊥BD，交AD于E，连接BE，交AC于点F，求证：AF=FC．

23. 难度：中等

已知A=，B=设X=解方程AX=B．

24. 难度：中等

已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，-3），
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及特征向量．

25. 难度：中等

自极点O作射线与直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使得，求点P的轨迹的极坐标方程．

26. 难度：中等

过点P（-1，10）作倾斜角为a直线与曲线相交与M、N两点
（1）写出直线MN的参数方程；
（2）求PM•PN的最小值．

27. 难度：中等

已知a，b是正数，求证：（1+a+b）（1+a²+b²）≥9ab．并指出等号成立的条件．

28. 难度：中等

设实数x，y，z满足x+y-z=1，试求x²+3y²+2z²的最小值．