Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，F₁F₂分别是椭圆C的左，右焦点，直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点为A，△AF₁F₂的面积为2，点P（x，y），是椭圆C上的动点w．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若∠F₁PF₂为钝角，求点P的横坐标x的取值范围；
（3）求PF₁+PA的最小值．

Answer

（1）由题意得b=2，①，设A（x，x）（x＞0），则，②结合△AF1F2的面积为2，有cx=2③，由①②③得a，最后写出椭圆C的方程；
（2）设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF21+PF22＜F1F22代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．
（3）过点P向椭圆右准线做垂线，垂足为B，根据椭圆方程求得离心率和准线方程，进而根据椭圆的第二定义，进而可判定当P，A，B三点共线时有最小值，从而求得答案．
【解析】
（1）∵2b=4，∴b=2，①
由题意，设A（x，x）（x＞0），则，②
△AF1F2的面积为2，∴cx=2③，
由①②③得：a=2，椭圆C的方程为：．
（2）设p（x，y），则 F1（-2，0），F2（2，0），
且∠F1PF2是钝角
⇔PF12+PF22＜F1F22⇔（x+2）2+y2+（x-2）2+y2＜32
⇔x2+y2＜8．
（3）椭圆 与y=x（x＞0）解得A（，），
自P作椭圆左准线的垂线，垂足为H，∵，
左准线方程：x=-3，
∴PF1+PA即为：（PH+PA）
当A，P，H三点共线时，其和最小，
|PA|+|PB|的最小值为|AB|，
因点A到左准线的距离为：+3，
∴PF1+PA的最小值（+3）=6+．