Question

已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x+y=4上．
（1）求半径最小时的圆C的方程；
（2）求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．

Answer

（1）根据题意可设圆心的坐标为（a，4-2a），又因为动圆C经过坐标原点O，所以动圆的半径r=，根据二次函数的性质进而得到圆的方程．
（2）设定点坐标（x，y），可得x2-2ax+y2-2（4-2a）y=0，即a（4y-2x）+（x2+y2-8y）=0，利用过定点的知识可得：4y-2x=0且x2+y2-8y=0，进而得到定点．
【解析】
（1）因为圆心C在直线l：2x+y=4上，
所以设圆心的坐标为（a，4-2a）．
又因为动圆C经过坐标原点O，
所以动圆的半径r=，所以半径r的最小值为．
并且此时圆的方程为：（x-）2-（y-）2=．
（2）设定点坐标（x，y），因为圆的方程为：（x-a）2+[y-（4-2a）]2=a2+（4-2a）2
所以x2-2ax+y2-2（4-2a）y=0，
即a（4y-2x）+（x2+y2-8y）=0，
因为当a为变量时，x，y却能使该等式恒成立，
所以只可能4y-2x=0且x2+y2-8y=0
即解方程组可得：y=，x=或者y=0，x=0（舍去）
所以圆C恒过一定点（，）．