2010-2011学年浙江省杭州市学军中学高三第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是（ ）
A．若a=0或b=0，则ab=0
B．若ab≠0，则a≠0或b≠0
C．若a≠0且b≠0，则ab≠0
D．若a≠0或b≠0，则ab≠0

2. 难度：中等

设集合，则满足条件的集合P的个数是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．8

3. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x∈R，sinx+cosx=1.5
B．∀x∈（0，+∞），e^x＞x+1
C．∃x∈R，x²+x=-1
D．∀x∈（0，π），sinx＞cos

4. 难度：中等

设M为实数区间，a＞0且a≠1．若“a∈M”是“函数f（x）=log_a|x-1|在（0，1）上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M可以是（ ）
A．（1，+∞）
B．（1，2）
C．（0，1）
D．

5. 难度：中等

已知a，b，c为正数，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根．则方程（a+1）x²+（b+2）x+c+1=0的实数根的个数是（ ）
A．0或1
B．1或2
C．0或2
D．不确定

6. 难度：中等

已知函数，其中x∈R，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）是最小正周期为π的偶函数
B．f（x）的一条对称轴是
C．f（x）的最大值为2
D．将函数的图象左移得到函数f（x）的图象

7. 难度：中等

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2010）+f（2011）的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

8. 难度：中等

函数y=x+sin|x|，x∈[-π，π]的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M 是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数．关于下列命题正确的个数是（ ）
①函数f（x）是周期函数；
 ②函数f（x）既有最大值又有最小值；
③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；
④对于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

11. 难度：中等

函数的图象的对称中心的是    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=2x²-1nx的递增区间是    ．

13. 难度：中等

已知，则=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=（sinx+3）（cosx-3）的值域为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-1，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}，则集合M∩N所表示的平面区域的面积是    ．

16. 难度：中等

使得关于x的不等式a^x≥x≥log_ax（0＜a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立的正实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的图象如下所示，给出下列四个命题：
（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根
（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根    
（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根
其中正确命题是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）若，且，求）的值．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

20. 难度：中等

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=；（2）y=4lgx-3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

21. 难度：中等

对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．