Question

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x∈R，sinx+cosx=1.5
B．∀x∈（0，+∞），e^x＞x+1
C．∃x∈R，x²+x=-1
D．∀x∈（0，π），sinx＞cos

Answer

利用辅助角公式可将sinx+cosx化为正弦型函数的形式，进而根据三角函数的值域判断A的真假，构造函数y=ex-x+1，根据导数法求出函数的单调性进而求出值域，可判断B的真假，根据二次函数的值域，可判断C的真假，构造函数sinx-cosx进而转化为正弦型函数的形式，进而根据三角函数的值域判断D的真假．
【解析】
∵sinx+cosx=sin（x+）∈[-，]
∴A“∃x∈R，sinx+cosx=1.5”为假命题；
∵当x∈（0，+∞）时，函数y=ex-x+1的导函数
y′=ex-1＞0，故函数y=ex-x+1在区间（0，+∞）上单调递增
∴y=ex-x+1＞y|x=0=2
即ex＞x+1恒成立，故B“∀x∈（0，+∞），ex＞x+1”恒成立；
∵x2+x=（x+）2-≥-
∴C“∃x∈R，x2+x=-1”为假命题；
∵当x∈（0，），sinx＜cosx
∴D“∀x∈（0，π），sinx＞cosx”为假命题；
故选B