2010-2011学年辽宁省大连市协作体高一（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=sin（2x-）
B．y=sin（2x-）
C．y=sin（x-）
D．y=sin（x-）

4. 难度：中等

下列函数中周期为1的奇函数是（ ）
A．y=2cos²πx-1
B．y=sin2πx+cos2π
C．
D．y=sinπx•cosπ

5. 难度：中等

如图，平面内的两条相交直线OP₁和OP₂将该平面分割成四个部分I、II、III、Ⅳ（不包含边界）．设=m+n，且点P落在第III部分，则实数m，n满足（ ）

A．m＞0，n＞0
B．m＞0，n＜0
C．m＜0，n＜0
D．m＜0，n＜0

6. 难度：中等

定义运算，如，已知α+β=π，，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数的值域是（ ）
A．[-1，1]
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令，则（ ）
A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c

9. 难度：中等

若已知tan10°=a，求tan110°的值，那么在以下四个答案：①④中，正确的是（ ）
A．①和③
B．①和④
C．②和③
D．②和④

10. 难度：中等

若函数f（x）=3cos（wx+θ）对任意的x都有f（+x）=f（-x），则f（）等于（ ）
A．-3
B．0
C．3
D．±3

11. 难度：中等

O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心

12. 难度：中等

已知O是正三角形ABC内部一点，，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（ ）
A．
B．
C．2
D．

二、填空题

13. 难度：中等

函数为增函数的区间是    ．

14. 难度：中等

若对n个向量，存在n个不全为零的实数k₁，k₂…，k_n，使得=成立，则称向量为“线性相关”．依此规定，请你求出一组实数k₁，k₂，k₃的值，它能说明=（1，0），=（1，-1），=（2，2）“线性相关”．k₁，k₂，k₃的值分别是    （写出一组即可）．

15. 难度：中等

若函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对于任意x∈R，有f（x+3）=-f（x），若f（1）=1，tanα=2，则f（2005sinαcosα）的值为    ．

16. 难度：中等

定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP₁⊥x轴于点P₁，直线PP₁与y=sinx的图象交于点P₂，则线段P₁P₂的长为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求值：．

18. 难度：中等

已知，求：
（I）的值；
（II）的值；
（III）的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=，x∈[，]，求cos2x的值．

20. 难度：中等

由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin³x；
（II）请求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos³x-3cosx，求出sin18°的值．

21. 难度：中等

现将边长为2米的正方形铁片ABCD裁剪成一个半径为1米的扇形和一个矩形CRGP，如图所示，点E、F、P、R分别在AB、AD、BC、CD上，点G在上．设矩形CRGP的面积为S，∠GAE=θ，试将S表示为θ的函数，并指出点G在的何处时，矩形面积最大，并求之．

22. 难度：中等

已知：函数，（其中θ，m为常数，）图象的一个对称中心是．
（I）求θ和m的值；
（II）求f（x）的单调递减区间；
（III） 求满足的x的取值范围．