Question

由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin³x；
（II）请求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos³x-3cosx，求出sin18°的值．

Answer

（I）利用诱导公式可得sin3x=-cos（-3x）=-cos[3（-3x）]，把已知的条件代入可证得结论成立．
（II）两次使用二倍角公式，即可求得结果．
（III）利用 sin36°=cos54°，可得 2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°，解方程求出2sin18°的值．
【解析】
（I）证明：∵
=-（4sin3x-3sinx）=3sinx-4sin3x，故等式成立．
（II）cos4x=cos（2•2x）=2cos22x-1=2（2cos2x-1）2-1=2（4cos4x-4cos2x+1）-1
=8cos4x-8cos2x+1．
（III）∵sin36°=cos54°，∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°，
∴4sin218°+2sin18°-1=0，∴．