2010-2011学年河北省保定市蠡县中学高二（下）月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则（ ）
A．p=-3，q=-2
B．p=-3，q=2
C．p=3，q=-2
D．p=3，q=2

2. 难度：中等

设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x-2|＜3，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

抛物线的准线方程是（ ）
A．
B．y=2
C．
D．y=-2

4. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为（ ）
A．平面
B．直线
C．圆
D．线段

6. 难度：中等

设α∈[0，π]，则方程x²sinα+y²cosα=1不能表示的曲线为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

7. 难度：中等

已知函数f（x）=，若∀x∈R，则k的取值范围是（ ）
A．0≤k＜
B．0＜k＜
C．k＜0或k＞
D．0＜k≤

8. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知=（t+1，1，t），=（t-1，t，1），则||的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

10. 难度：中等

双曲线的焦点（c，0）到它的一条渐近线的距离是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．

11. 难度：中等

已知A，B是椭圆上的两点，F₂是其右焦点，如果|AF₂|+|BF₂|=8，则AB的中点到椭圆左准线的距离为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12

12. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．则A₁B与平面ABD所成角的余弦值（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知，（两两互相垂直），那么=    ．

14. 难度：中等

以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为    ．

15. 难度：中等

已知△ABC的顶点为A（1，1，1），B（0，-1，3），C（3，2，3），则△ABC的面积是    ．

16. 难度：中等

若方程表示的曲线的离心率是，则t=    ．

17. 难度：中等

下列命题
①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要条件．
③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形．
其中的有    ．

18. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁⊥A₁C．有下列条件：
①AB=AC=BC；②AB⊥AC；③AB=AC．其中能成为BC₁⊥AB₁的充要条件的是（填上该条件的序号）    ．

三、解答题

19. 难度：中等

若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程．

20. 难度：中等

已知命题p：不等式|x-1|＞m-1的解集为R，命题q：f（x）=-（5-2m）^x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，AB=AC=AA₁=1，求MN的长．．

22. 难度：中等

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P（2，4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的三点．
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线PA与PB的倾斜角互补，求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅲ）若AB⊥PA，求点B的纵坐标的取值范围．

23. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CD上．
（1）求证：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中点，求EB₁与平面AD₁E所成的角；
（3）设M在BB₁上，且，是否存在点E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．