Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．则A₁B与平面ABD所成角的余弦值（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

根据题意找到线面角，进而把此角放入三角形△EBG中，利用解三角形的有关知识（正弦定理与余弦定理）解决问题即可．
【解析】
连接BG，则BG是BE在面ABD上的所以，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角，
设F为AB中点，连接EF、FG，
∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，
连接DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=FD2，
设侧棱AA1=2a
∴EF=a，∴FD=a
于是ED=a，EG==a，
∵FC=ED=a，
∴AB=2a，A1B=2a，EB=a．
∴sin∠EBG=
∴cos∠EBG=
∴直线A1B与平面ABD所成角的余弦值为．
故选C．