Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CD上．
（1）求证：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中点，求EB₁与平面AD₁E所成的角；
（3）设M在BB₁上，且，是否存在点E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）建立坐标系，设出正方体的棱长，设出E点的坐标，写出要证的两条线段对应的坐标，求两个向量的数量积，得到两个向量的数量积为0，得到对应的两条直线垂直．
（2）设出平面AD1E的一个法向量，利用这个法向量与平面上的两个不共线的向量的数量积为0，求出一个法向量，直线与平面所成的角，通过两条直线所成的角得到，注意得到的是线面角的正弦值．
（3）假设存在符合条件的点，得到平面的一个法向量，根据两个平面垂直，得到对应的两个平面的法向量的数量积是0，得到关于t的方程，解方程即可，舍去不合题意的结果．
【解析】
以D为坐标原点，DA，DC，DD1依次为x轴、y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
并设正方体棱长为1，设点E的坐标为E（0，t，0）
（1），
∵，
∴EB1⊥AD1
（2）当E是CD中点时，
，，
设平面AD1E的一个法向量是=（x，y，z），
则由，
得一组解是，
又，由cosθ==，
从而直线EB1与平面AD1E所成的角的正弦值是
（3）设存在符合题意的E点为E（0，t，0）可得平面AD1E的一个法向量是，
平面AME的一个法向量是
∵平面AD1E⊥平面AME，
∴=0，
解得t=或t=2（舍），
故当点E是CD的中点时，平面AD1E⊥平面AME