Question

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P（2，4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的三点．
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线PA与PB的倾斜角互补，求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅲ）若AB⊥PA，求点B的纵坐标的取值范围．

Answer

（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．
（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则可分别表示kPA和kPB，根据倾斜角互补可知kPA=-kPB，
设AB的中点坐标为（x，y），则 y==-4，x==，使用基本不等式求得x＞2，得到AB中点
的轨迹方程为  y=-4 （ x＞2 ）．
（III）由题意得 A（，y1）、B（，y2），故kAP ==，由于AB⊥AP，∴kAB =-（）．
又 KAB==，化简可得 y12+（y2+4）y1+4y2+64=0．由△≥0，解得y2≤-12或y2≥20，
从而得到点B的纵坐标的取值范围．
【解析】
（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px，
∵点P（2，4）在抛物线上∴42=2p×2，得p=4，
故所求抛物线的方程是y2=8x．
（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB
则 ，，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA=-kPB．
由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=8x1 （1），y22=8x2 （2），
∴，∴y1+4=-（y2+4），∴y1+y2 =-8．
设AB的中点坐标为（x，y），则 y==-4，x=== 
=． 由题意知，y1＜0，y2＜0，
（-y1）+（-y2）=8＞2，∴y1y2＜16，∴＞=2，即 x＞2，
故线段AB中点的轨迹方程为  y=-4 （ x＞2 ）．
（III）由题意得 A（，y1）、B（，y2），故kAP ==，
由于AB⊥AP，∴kAB =-（）．又 KAB==，
∴y12+（y2+4）y1+4y2+64=0．
由△≥0，解得y2≤-12或y2≥20，故点B的纵坐标的取值范围是 （-∞，12]∪[20，+∞）．