2010-2011学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=a+i（a＞0，i是虚单位），若，则的虛部是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

当a＞0时，设命题P：函数在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式x²+ax+1＞0对任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤1
B．1≤a＜2
C．0≤a≤2
D．0＜a＜1或a≥2

3. 难度：中等

已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α∥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．
其中真命题是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

4. 难度：中等

如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（ ）

A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A．
B．8π
C．
D．4π

6. 难度：中等

m=-2是直线（2-m）x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分也非必要条件

7. 难度：中等

若圆x²+y²=1和x²+y²+4x-4y+7=0关于直线l对称，则l的方程是（ ）
A．x+y=0
B．x+y-2=0
C．x-y-2=0
D．x-y+2=0

8. 难度：中等

若双曲线过点（m，n）（m＞n＞0），且渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点（ ）
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在x轴或y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上

9. 难度：中等

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-a）f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（x）≥f（a）
B．f（x）≤f（a）
C．f（x）＞f（a）
D．f（x）＜f（a）

10. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax²+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

设f（x）=xlnx，若f′（x）=2，则x=    ．

12. 难度：中等

设成立，可得，，由此推得=    ．

13. 难度：中等

如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．则三棱锥F-A′BC的体积为    ．

14. 难度：中等

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使，则椭圆离心率的范围是    ．

15. 难度：中等

有下列命题：①x=0是函数y=x³的极值点；
②三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值点的充要条件是b²-3ac＞0；
③奇函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数．
其中假命题的序号是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，分别是BC、AA₁的中点．求：
（Ⅰ） FE与底面所成角的大小；
（Ⅱ）异面直线EF和A₁B所成角的大小．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2，其中a＞0．
（Ⅰ）对∀x∈[-1，2]，有f（x）＜g（x）+2成立，求正数a的取值范围．
（Ⅱ）对∀x₁∈[-1，2]，∃x∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x），求正数a的取值范围．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线相切．   （I）求圆C的方程；
（II）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数x²+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．

20. 难度：中等

已知抛物线C的方程为x²=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，求证点N到直线MA，MB的距离相等．