Question

已知抛物线C的方程为x²=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，求证点N到直线MA，MB的距离相等．

Answer

（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AM的斜率为k，由∠BMN=∠AMN，所以直线BM的斜率为-k，可求得，则直线AM的方程为，由此能够证明直线AB的斜率为．
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，由x1=4kAM+2，x2=4kBM+2，得
kAB=，由此能求出点N到直线MA，MB的距离相等．
【解析】
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AM的斜率为k，∵∠BMN=∠AMN，所以直线BM的斜率为-k，
可求得，则直线AM的方程为，
代入x2=4y得x2-4kx-8k-8=0，∵xAx1=-8，
同理x2=-4k+2，kAB=．（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，由（1）可得：x1=4kAM+2，x2=4kBM+2，
∴kAB=，
∴kAM+kBM=0，
∴∠BMN=∠AMN，
故点N到直线MA，MB的距离相等．（10分）