Question

在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线相切．   （I）求圆C的方程；
（II）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=R2，利用圆心到直线的距离等于半径求出半径，即得圆的方程．
（2）设存在满足题意的直线l，设此直线方程为y=x+m，由kOA•kOB=-1，得 x1x2+y1y2=0．把直线方程代入圆方程，把根与系数的关系代入x1x2+y1y2=0，求得m值，即得直线的方程．
【解析】
（1）设圆的方程是（x-1）2+（y+2）2=R2，依题意得，所求圆的半径，
∴所求的圆方程是（x-1）2+（y+2）2=9．
（2）设存在满足题意的直线l，设此直线方程为y=x+m，
设直线l与圆C相交于A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意有OA⊥OB，
即kOA•kOB=-1，∴，∴x1x2+y1y2=0．
因为，消去y得：2x2+2（m+1）x+m2+4m-4=0，
所以，．
∵，
∴，
∴，解得m1=-4，m2=1，
经检验m1=-4，m2=1都满足△＞0，都符合题意，∴存在满足题意的直线l：l1：y=x-4，l2：y=x+1．