2010年上海市上海中学高三数学综合练习试卷（3）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数的虚部是    ．

2. 难度：中等

已知函数ƒ（2^x）的定义域为[-1，1]，则函数y=ƒ（log₂x）的定义域为    ．

3. 难度：中等

自圆x²+y²=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=，则方程f²（x）-f（x）=0的不相等的实根个数为    ．

5. 难度：中等

在的取值范围为    ．

6. 难度：中等

已知函数对定义域内的任意x的值都有-1≤f（x）≤4，则a的取值范围为    ．

7. 难度：中等

函数f（x）=a（x+2）²-1（a≠0）的图象的顶点A在直线mx+ny+1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为    ．

8. 难度：中等

一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为    ．

9. 难度：中等

考察下列一组不等式：2³+5³＞2²•5+2•5²，2⁴+5⁴＞2³•5+2•5³，2⁵+5⁵＞2³•5²+2²•5³，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是    ．

10. 难度：中等

关于x的方程2x²+3ax+a²-a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为    ．

11. 难度：中等

已知不等式对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为    ．

二、选择题

13. 难度：中等

已知，那么实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，2）
B．
C．
D．

14. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（ ）
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点

15. 难度：中等

若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，则lg（a-1）+lg（b-1）的值（ ）
A．等于1
B．等于lg2
C．等于0
D．不是常数

16. 难度：中等

对b＞a＞0，取第一象限的点A_k（x_k，y_k）（k=1，2，…，n），使a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差数列，且a，y₁，y₂，…，y_n，b成等比数列，则点A₁，A₂，…，A_n与射线L：y=x（x＞0）的关系为（ ）
A．各点均在射线L的上方
B．各点均在射线L的上面
C．各点均在射线L的下方
D．不能确定

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数与g（x）=cos²x+a（1+cosx）-cosx-3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，求a的取值范围．

18. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=-．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，a+c=4，求a的值．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求异面直线CD和PB所成角大小；
（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．

20. 难度：中等

设关于x的方程2x²-ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数．
（1）求f（α）、f（β）的值；
（2）证明f（x）是[α，β]上的增函数；
（3）当α为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？

21. 难度：中等

现有流量均为300m³/s的两条河流A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m³和0.2kg/m³．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m³的水量，其交换过程为从A股流入B股100m³的水量，经混合后，又从B股流入A股100m³水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m³．（不考虑泥沙沉淀）．

22. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F₁、F₂分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．
（1）求椭圆方程；
（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；
（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？