Question

关于x的方程2x²+3ax+a²-a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为    ．

Answer

原方程的根是实根与虚根讨论：（1）对于方程 2x2+3ax+a2-a=0 若方程有实根，（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ-isinθ，分别求出a的值，从而得到答案．
【解析】
（1）对于方程 2x2+3ax+a2-a=0 若方程有实根，则实根中有一个根为1或-1，
△=9a2-8（a2-a）=a（a+8）≥0，得a≤-8或a≥0，
将x=1代入方程，得2+3a+a2-a=0，即a2+2a+2=0，a无实根；
将x=-1代入方程，得2-3a+a2-a=0，即a2-4a+2=0，得a=2±
（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ-isinθ，
△=9a2-8（a2-a）=a（a+8）＜0，得-8＜a＜0 由韦达定理，
有 cosθ+isinθ+cosθ-isinθ=2cosθ=-a，
得cosθ=-a，
（cosθ+isinθ）（cosθ-isinθ）=cos2θ+sin2θ=1=（a2-a），
即（a+1）（a-2）=0，⇒a=2或a=-1，
a=-1时，cosθ=∈[-1，1]；
a=2不在-8＜a＜0的范围内，舍去．
∴a=-1
故答案为：a=2±或-1