湖南师范大学附属中学2018届九年级上期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在实数﹣3、2、0、﹣π中，最小的数是（　　）

A. ﹣3    B. 2    C. 0    D. ﹣π

2. 难度：中等

下列计算正确的是（　　）

A. a³÷a²=a    B. =a    C. 2a²+a²=3a⁴    D. （a﹣b）²=a²﹣b²

3. 难度：中等

用百度搜索关键词“十九大”，百度为您找到相关结果约11700000个，把11700000这个数用科学记数法表示为（　　）

A. 1.17×10⁵    B. 11.7×10⁶    C. 1.17×10⁷    D. 117×10⁵

4. 难度：中等

下列图形中既是中心对称又是轴对称的图形的是（　　）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）

A. 165°    B. 120°    C. 150°    D. 135°

6. 难度：中等

当|k﹣2b|+=0时，直线y=kx+b经过点（　　）

A. （﹣1，﹣1）    B. （﹣1，1）    C. （﹣1，﹣3）    D. （﹣1，3）

7. 难度：中等

2007年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31 35 31 34 30 32 31，这组数据的中位数、众数分别是（　　）

A. 32，31    B. 31，32    C. 31，31    D. 32，35

8. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）

A. 为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式

B. 两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定

C. 抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是

D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件

9. 难度：简单

某书店把一本新书按标价的八折出售，仍获利20%，若该书进价为20元，则标价（　　）

A. 24元    B. 26元    C. 28元    D. 30元

10. 难度：简单

如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（   ）．

A. 22    B. 18    C. 14    D. 11

11. 难度：中等

“圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径的长”. 依题意，CD长为（   ）

A. 寸    B. 13寸    C. 25寸    D. 26寸

12. 难度：困难

如图，将△ABC沿角平分线BD所在直线翻折，顶点A恰好落在边BC的中点E处，AE=BD，那么tan∠ABD=（　　）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：中等

因式分【解析】
3x²+6x+3=_____．

14. 难度：中等

若直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集是_____．

15. 难度：简单

等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm，则它的周长是_________．

16. 难度：简单

如图，已知AB∥CD，∠AEF＝80°，则∠DCF为_____°．

17. 难度：中等

如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=CD，则长EF与CF的比值是_____．

18. 难度：中等

已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y=x²﹣2（k﹣1）x+k²﹣5的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是_____．

三、解答题

19. 难度：中等

计算：﹣（）²++（π﹣3）⁰+2sin30°

20. 难度：中等

解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

21. 难度：中等

湖南师大附中组织集团校内七、八、九年级学生参加“12KM”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．

（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是　   　度．八年级参赛作文篇数对应的百分比是　   　．

（2）请补全条形统计图．

（3）经过评审，全集团校内有4篇作文荣获特等奖，其中一篇来自九年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校报上，请利用画树状图或列表的方法求出九年级特等奖作文被选登在校报上的概率．

22. 难度：中等

在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．

23. 难度：困难

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；

（2）若∠BAE=30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；

（3）若EB=AB，cos∠E=，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．

24. 难度：中等

荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲，乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．

（1）求租用一辆甲型汽车，一辆乙型汽车的费用分别是多少元？

（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．

（3）该商业公司生产的此时令商品每件成本为15元，经过市场调研发现，这种商品在未来20天内的日销量m（件）与时间t（天）的函数关系：m=﹣2t+100；该商品每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系为：y=t+20（1≤t≤20），其中t取整数；在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润时间t（天）的增大而增大（含20天的日销售利润和第19天的日销售利润相等的情况），求a的最小值．

25. 难度：困难

规定：若y表示一个函数，令M=|y|，我们则称函数M为函数y的“幸福函数”．

（1）请写出一次函数y=x﹣3的“幸福函数”M的解析式（解析式中不能含有绝对值）；

（2）若一次函数y=与反比例函数y=（k＞0）的“幸福函数”M有三个交点，从左至右依次为A，B，C三点，并且BC=，求点A的坐标；

（3）已知a、b为实数，二次函数y=x²+ax+b的“幸福函数”M，M=2恒有三个不等的实数根．

①求b的最小值；

②若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

26. 难度：困难

如图，抛物线y=﹣（其中m＞0）与x轴分别交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点c．

（1）求△AOC的周长，（用含m的代数式表示）

（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP²=PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；

（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x₀，y₀）总能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立，求n的取值范围．