Question

已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y=x²﹣2（k﹣1）x+k²﹣5的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是_____．

Answer

4．

【解析】

先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（k﹣1，2k﹣6），利用顶点横纵坐标的关系可判断抛物线的顶点在直线y=2x﹣4上，再求出直线y=2x﹣4与坐标轴的交点坐标，然后计算直线y=2x﹣4与两条坐标轴围成图形的面积即可．

∵y=x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣5=x2﹣2（k﹣1）x+（k﹣1）2+2k﹣6，∴抛物线的顶点坐标为（k﹣1，2k﹣6）．

∵2k﹣6=2（k﹣1）﹣4，∴抛物线的顶点在直线y=2x﹣4上，当x=0时，y=﹣4，直线y=2x﹣4与y轴的交点为（0，﹣4）；

当y=0时，2x﹣4=0，解得：x=2，直线y=2x﹣4与x轴的交点为（2，0）；

∴顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积=×2×4=4．

故答案为：4．