Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；

（2）若∠BAE=30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；

（3）若EB=AB，cos∠E=，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．

Answer

(1)见解析;(2) π﹣；(3)BE=20,半径：.

【解析】

（1）连接BD，利用圆周角定理得到∠ABD=90°，则∠D+∠DAB=90°，再利用等量代换证明∠DAE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连接OB，先计算出∠OAB=60°，得到△AOB为等边三角形，所以∠AOB=60°，然后利用阴影部份的面积=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算；

（3）作BH⊥AE于H，利用等腰三角形的性质得AH=EH=AE=12，∠E=∠BAE．在Rt△BEH中利用余弦的定义可计算出BE=20，则AB=20，由于∠D=∠C=∠BAE=∠E，则cos∠D=．在Rt△ABD中，cos∠D==，设BD=3x，AD=5x，易得4x=20，解出x得到AD的长，从而得到⊙O的半径．

（1）连接BD，如图，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，∴∠D+∠DAB=90°．

∵∠C=∠D，∠BAE=∠C，∴∠BAE+∠DAB=90°，即∠DAE=90°，∴AD⊥AE，∴直线AE是⊙O的切线；

（2）连接OB，如图，∵∠BAE=30°，∴∠OAB=60°，而OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴阴影部份的面积=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×22=π﹣；

（3）作BH⊥AE于H，如图，∵EB=AB，∴AH=EH=AE=12，∠E=∠BAE．在Rt△BEH中，∵cos∠E==，∴BE=12×=20，∴AB=BE=20．

∵∠D=∠C=∠BAE=∠E，∴cos∠D=．在Rt△ABD中，cos∠D==，设BD=3x，AD=5x，∴AB=4x，即4x=20，解得：x=5，∴AD=25，∴⊙O的半径为．