Question

如图，抛物线y=﹣（其中m＞0）与x轴分别交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点c．

（1）求△AOC的周长，（用含m的代数式表示）

（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP²=PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；

（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x₀，y₀）总能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立，求n的取值范围．

Answer

（1） 3m+3m；（2）tan∠APO=，P（﹣）；（3） ≤n≤2．

【解析】

（1）分别令x=0和y=0，计算抛物线与两坐标轴的交点C和A的坐标，再根据勾股定理计算AC的长，根据三角形的周长可得结论；

（2）根据特殊三角函数值可得∠CAO=30°，证明△OPA∽△CPO，则∠POC=∠OAC=30°，可得tan∠APO=，过P作PE⊥x轴于E，表示OE和PE的长，根据点P在第二象限，可得P的坐标；

（3）根据中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的解析式可得m的值，计算对称轴，得x0的取值范围，根据两个不等式确定其解集即可．

（1）当x=0时，y=﹣××（﹣3m）=m，∴C（0，m），∴OC=m，当y=0时，﹣=0，解得：x1=﹣，x2=3m．

∵A在B的右侧，其中m＞0，∴A（3m，0），由勾股定理得：AC===2m，∴△AOC的周长=OA+OC+AC=3m+m+2m=3m+3m；

（2）Rt△AOC中，tan∠OAC===，∴∠CAO=30°．

∵OP2=PC•PA，∴．

∵∠OPC=∠OPC，∴△OPA∽△CPO，∴∠POC=∠OAC=30°．

∵∠ACO=∠POC+∠APO，∴∠APO=60°﹣30°=30°，∴tan∠APO=．

过P作PE⊥x轴于E．

∵∠APO=∠OAC=30°，∴PO=OA=3m，∠POE=60°，Rt△PEO中，∠EPO=30°，∴OE=OP=，PE=．

∵点P在第二象限，∴P（﹣）；

（3）由（2）知：P（﹣）．

∵点Q恰好为OP的中点，∴Q（﹣）．

∵Q在抛物线上，则=﹣，解得：m=，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+）（x﹣3）=﹣，对称轴是：x=﹣=，作抛物线的对称轴交抛物线于点F．

∵M在点C与顶点F之间（含点C与顶点F），∴0≤x0≤，n≤，设w1=．

∵1＞0，∴w1随x0的增大而增大，∴当x0=时，w1有最大值，即有最小值为2，∴n≤2，对于不等式2n﹣，n≥﹣2，n≥﹣2（x0﹣）2+，设w2=﹣2（x0﹣）2+．

∵﹣2＜0，∴w2有最大值．

∵0＜＜，∴当x0=时，w2有最大值为，∴n≥．

综上所述：n的取值范围是≤n≤2．