Question

规定：若y表示一个函数，令M=|y|，我们则称函数M为函数y的“幸福函数”．

（1）请写出一次函数y=x﹣3的“幸福函数”M的解析式（解析式中不能含有绝对值）；

（2）若一次函数y=与反比例函数y=（k＞0）的“幸福函数”M有三个交点，从左至右依次为A，B，C三点，并且BC=，求点A的坐标；

（3）已知a、b为实数，二次函数y=x²+ax+b的“幸福函数”M，M=2恒有三个不等的实数根．

①求b的最小值；

②若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

Answer

(1) M=;(2) A(﹣1，8）;(3) ①-2；②a=﹣16,b=62.

【解析】

（1）根据“幸福函数”求解即可；

（2）由题意设B（m，﹣m+），C（n，﹣n+），且m＜n，由BC=，得到，解得n=m+1，则C（m+1，﹣m+﹣），由B、C都在反比例函数y=上，可得m（﹣m+）=（m+1）（﹣m+），解得：m=2，B（2，4），把B（2，4）代入y=得到k=8，解方程组可得的A坐标；

（3）①由题意：抛物线y=x2+ax+b的顶点坐标的纵坐标为﹣2，由此构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

②当y=2时，2=x2+ax+b，可得x2+ax+b﹣2=0，设方程的两个根为x1，x2，（x1＜x2），则x1+x2=﹣a，x1•x2=b﹣2，由方程M=2的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，则有：x22=x12+（﹣）2，构建方程组求出a、b即可．

（1）M=．

（2）由题意设B（m，﹣m+），C（n，﹣n+），且m＜n．

∵BC=，∴，解得：n=m+1，则C（m+1，﹣m+﹣）．

∵B、C都在反比例函数y=上，∴m（﹣m+）=（m+1）（﹣m+），解得：m=2，∴B（2，4），把B（2，4）代入y=得到k=8，由，解得：或，∴A（﹣1，8）．

（3）①由题意：抛物线y=x2+ax+b的顶点坐标的纵坐标为﹣2，∴﹣2=，∴b=a2﹣2．

∵＞0，∴b有最小值，最小值为﹣2．

②当y=2时，2=x2+ax+b，∴x2+ax+b﹣2=0，设方程的两个根为x1，x2，（x1＜x2），则x1+x2=﹣a，x1•x2=b﹣2．

∵方程M=2的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，则有：x22=x12+（﹣）2，∴（x2+x1）（x2﹣x1）=，∴x2﹣x1=﹣，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=a2，∴a2﹣4（b﹣2）=a2①

b=a2﹣2②

由①②可得：b=62，a=±16．

∵x1+x2=﹣a＞0，∴a＜0，∴a=﹣16．