《第2章 二次函数》2009年单元测试（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

抛物线y=-5x²的对称轴为    轴，顶点坐标为    ．

2. 难度：中等

已知二次函数y=（m+1）x²有最大值，则m的取值范围是    ．

3. 难度：中等

将抛物线y=-x²向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线的函数关系式为    ．

4. 难度：中等

二次函数y=-（x+1）（x-2）的图象在x轴上截得的线段的长为    ．

5. 难度：中等

当x=    时，二次函数y=x²+3x+有最    值是    ．

6. 难度：中等

已知二次函数y=x²-2x-3的函数值y＜0，则x的取值范围为    ．

7. 难度：中等

抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴的交点为（-1，0）和（2，0），则抛物线的函数关系式为    ．

8. 难度：中等

已知抛物线y=x²-bx+8的顶点在x轴上，则b的值是    ．

9. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC，过A、B、C三点的抛物线的解析式为    ．

10. 难度：中等

用长6米的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，则这个窗户的最大透光面积为    米²．

二、选择题

11. 难度：中等

下列抛物线中，对称轴是直线x=的是（ ）
A．y=x²
B．y=x²-
C．y=x²+x+2
D．y=x²-x-2

12. 难度：中等

抛物线y=-1+3x²（ ）
A．开口向上，且有最高点
B．开口向上，且有最低点
C．开口向下，且有最高点
D．开口向下，且有最低点

13. 难度：中等

抛物线y=-（x-4）²-1的顶点坐标为（ ）
A．（-4，-1）
B．（4，-1）
C．（-4，1）
D．（4，1）

14. 难度：中等

把抛物线y=-x²向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，得到的抛物线是（ ）
A．y=-（x-1）²-1
B．y=-（x+1）²-1
C．y=（x+1）²-1
D．y=（x-1）²-1

15. 难度：中等

已知函数y=x²-2x+k的图象经过点（，y₁），（，y₂），则y₁与y₂的大小关系为（ ）
A．y₁＞y₂
B．y₁=y₂
C．y₁＜y₂
D．不能确定

16. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a-b+c＞0；③abc＜0；④2a+b=0．其中正确的个数为（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

17. 难度：中等

已知y=2x²的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x-2）²+2
B．y=2（x+2）²-2
C．y=2（x-2）²-2
D．y=2（x+2）²+2

18. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂，则当ax²+bx+c≤0时，x的取值范围是（ ）

A．x₁＜x＜x₂
B．x₁≤x≤x₂
C．-x₁≤x≤x₂
D．x≤x₁或x≥x₂

19. 难度：中等

二次函数y=x²-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

20. 难度：中等

下列图形是二次函数y=ax²+bx+a²-1的图象，若b＞0，则a的值等于（ ）

A．
B．-1
C．
D．1

三、解答题

21. 难度：中等

已知二次函数y=-x²+x+2．
（1）求函数图象的开口方向，顶点坐标及对称轴；
（2）画出函数的图象；
（3）由图象回答：当x为何值时，y＜0；当x为何值时，y＞0．

22. 难度：中等

已知二次函数的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

23. 难度：中等

一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．

24. 难度：中等

已知二次函数当x=3时，函数有最大值-1，且函数图象与y轴交于（0，-4），求该二次函数的关系式．

25. 难度：中等

已知二次函数y=x²-2（m+2）x+2（m-1）．
（1）证明：无论m取何值，函数图象与x轴都有两个不相同的交点；
（2）当图象的对称轴为直线x=3时，求它与x轴两交点及顶点所构成的三角形的面积．

26. 难度：中等

红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

时间t（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₁=t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₂=-t+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

27. 难度：中等

如图，从10米的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M距离1米，离地面米，试求水流落在点B距墙的距离OB．

28. 难度：中等

某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140-2x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

29. 难度：中等

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点M（1，-2）、N（-1，6）．
（1）求二次函数y=x²+bx+c的关系式；
（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0），（4，0），BC=5．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

30. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点O及点C．
（1）求直线与抛物线相应的函数关系式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使得S_△OCD=S_△OCB？如果存在，请求出满足条件的点D；如果不存在，请说明理由．