Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点O及点C．
（1）求直线与抛物线相应的函数关系式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使得S_△OCD=S_△OCB？如果存在，请求出满足条件的点D；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）直线y=kx+4只有一个待定系数，将B（4，8）代入可求k，已知一次函数解析式，再求m，将A、B、O三点坐标代入可求抛物线解析式；
（2）△OCD与△OCB同底OC，面积比等于高的比，点B离OC的距离是8，则点D离OC的距离是8，又点D在x轴的上方，故D点纵坐标是8，代入抛物线解析式可求D点坐标．
【解析】
（1）将B（4，8）代入y=kx+4中得k=1，
∴y=x+4，把A（1，m）代入y=x+4中的m=5，
将A（1，5），B（4，8），O（0，0）代入y=ax2+bx+c中

得
∴y=-x2+6x；

（2）存在，由-x2+6x=0得C（6，0），即OC=6，
∴S△OBC=×6×8=24，
∴S△OCD=24，
∵D点在x轴上方，由此可得D点纵坐标为8，代入抛物线解析式得：-x2+6x=8，
解得x=2或4；
∴D1（4，8），D2（2，8）．
∵B（4，8），
∴D（2，8）．