设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立．又知电梯只在有人下时才停止．
（I）求某乘客在第i层下电梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；
（Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望．

过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线（t为参数）相交于A，B两点．求线段AB的长．

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=，属于特征值1的一个特征向量为α₂=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最小值；
（Ⅱ）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC=120°，
按照设计要求，其横截面面积为平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周
长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小，设水渠深h米．
（Ⅰ）当h为多少米时，用料最省？
（Ⅱ）如果水渠的深度设计在的范围内，求横截面周长的最小值．

已知等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d为整数，且满足a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，数列{b_n}满足，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若S₂为S₁，S_m（m∈N*）的等比中项，求m的值．

如图，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A（4，m）在椭圆E上，且，点D（2，0）到直线F₁A的距离．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点P位椭圆E上的任意一点，求的取值范围．

已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的分别是a、b、c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足，且t＜a₁＜t+1，其中t＞2，若a_n+k=a_n（k∈N^*），则实数k的最小值为    ．

已知直线kx-y+1=0与圆C：x²+y²=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=    ．

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于    ．

直线与圆x²+y²=2相交于A，B两点，O为原点，则=    ．

已知xy＞0，则的最小值为    ．

曲线C：f（x）=sinx+e^x+2在x=0处的切线方程为    ．

等比数列{a_n}中，S_n表示前n顶和，a₃=2S₂+1，a₄=2S₃+1，则公比q为    ．

已知实数x，y满足不等式组，则x²+y²-2x-2y的最小值为    ．

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x-y+1=0垂直，则实数a=    ．

已知向量=（sinx，cosx），=（1，-2），且∥，则tanx=    ．

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-3，则f（-2）=    ．

顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是    ．

已知复数z的实部为1，虚部为-2，则的虚部为    ．

已知集合A={0，m}，B={n|n²-3n＜0，n∈Z}若A∩B≠∅，则m的值为    ．

已知点A（-1，2）是抛物线C：y=2x²上的点，直线l₁过点A，且与抛物线C 相切，直线l₂：x=a（a≠-1）交抛物线C于点B，交直线l₁于点D．
（1）求直线l₁的方程；
（2）设△BAD的面积为S₁，求|BD|及S₁的值；
（3）设由抛物线C，直线l₁，l₂所围成的图形的面积为S₂，求证：S₁：S₂的值为与a无关的常数．

如图，在直线y=0和y=a（a＞0）之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往．家住A（0，a）的某学生在位于公路上B（d，0）（d＞0）处的学校就读．每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B（d，0）处的学校．已知船速为υ（υ＞0），车速为2υ（水流速度忽略不计）．
（Ⅰ）若d=2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；
（Ⅱ）若，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

已知两个数列{S_n}、{T_n}分别：
当n∈N^*，S_n=1-，T_n=．
（1）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（2）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求函数f（x）在[-3，]上的最大值和最小值；
（2）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

求抛物线y²=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积．

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