设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|a...

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0， manfen5.com 满分网

]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（ manfen5.com 满分网

，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

（1）如果a＜-2，由题设条件知|a1|=|a|＞2，a∉M．（2）由题高级条件知当时，（∀n≥1）．由数学归纳法可以证出对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．（3）当时，a∉M．由题设条件可以推导出．当时，，由此可知an+1＞2，因此a∉M．证明：（1）如果a＜-2，则|a1|=|a|＞2，a∉M．（2分）（2）当时，（∀n≥1）．事实上，〔i〕当n=1时，．设n=k-1时成立（k≥2为某整数），则〔ii〕对n=k，．由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．（6分）（3）当时，a∉M．证明如下：对于任意n≥1，，且an+1=an2+a．对于任意n≥1，，则．所以，．当时，，即an+1＞2，因此a∉M．（10分）

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考点分析：

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