2011-2012学年江苏省无锡市江阴高级中学高三（上）10月学情调研数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

记函数f（x）=lg（3-x）的定义域为A，则A∩N^*中有    个元素．

2. 难度：中等

已知=3+i（a，n∈R，i为虚数单位），则a+b=    ．

3. 难度：中等

某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取    人．

4. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-4x+2＞0”的否定是    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则ω=    ．

6. 难度：中等

有五条线段，其长度分别为1，2，4，5，7．现任取两条，则这两条线段的长度之和为偶数的概率是    ．

7. 难度：中等

设曲线f（x）=2ax³-a在点（1，a）处的切线与直线2x-y+1=0平行，则实数a的值为    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为    ．

9. 难度：中等

已知正方形ABCD的四个顶点在椭圆=1（a＞b＞0）上，AB∥x轴，AD过左焦点F，则该椭圆的离心率为    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+abx+a+2b．若f（0）=4，则f（1）的最大值为    ．

11. 难度：中等

如图，已知C为△OAB边AB上一点，且，则mn=    ．

12. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，最后输出的T=    ．

13. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0）时，f（x）=log₂x，已知a=f（4），b=f（-），c=f（），则a，b，c的大小关系
为    ．（用“＜”连接）

14. 难度：中等

已知a，b，c（a＜b＜c）成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数成等比数列，则的值为    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点），P（cosα，sinα），其中．
（1）若 ，求证：；
（2）若，求的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥平面PAD，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．

17. 难度：中等

某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．
（1）写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系；
（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（a+m）x+alnx，且f′（1）=0，其中a、m∈R．
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

19. 难度：中等

已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（t，0），B（t+5，0）（-4≤t≤-1），若AC，BC是圆M的切线，求△ABC面积的最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；（2）当a₁=2时，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若对任意n∈N^*，都有≥5成立，求a₁的取值范围．

21. 难度：中等

选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若矩阵M=[]所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程将参数方程t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：已知a，b是正数，求证（a+）（2b+）≥92．

22. 难度：中等

袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作．
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．

23. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D为侧棱AA₁的中点．
（1）求异面直线DC₁，B₁C所成角的余弦值；
（2）求二面角B₁-DC-C₁的平面角的余弦值．