广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟考试数学（理）试卷

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合， ，则（    ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

若椭圆： 的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：简单

在中， ， ， ，则内角的正弦值为（   ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（    ）

A.     B.     C. 1    D.

6. 难度：简单

若向量， ，向量在方向上的投影为2，若，则的大小为（    ）

A. 2    B.     C. 4    D.

7. 难度：简单

执行如图的程序框图，输出的的值是（   ）

A. 28    B. 36    C. 45    D. 55

8. 难度：简单

若以函数的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则的值为（    ）

A. 1    B. 2    C.     D.

9. 难度：中等

已知底面是边长为2的正方体的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4， 是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：简单

定义，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为（   ）

A．       B．     C．     D．

11. 难度：简单

函数是（   ）

A. 奇函数    B. 偶函数

C. 既是奇函数也是偶函数    D. 既不是奇函数也不是偶函数

12. 难度：简单

设实数满足关系： ， ，则实数的最大值为（    ）

A. 2    B.     C. 3    D.

二、填空题

13. 难度：简单

设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是__________．

14. 难度：中等

若锐角满足， ，则__________．

15. 难度：中等

过动点作圆： 的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________．

16. 难度：中等

定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数，给出如下命题：

①函数是函数的一个承托函数；

②函数是函数的一个承托函数；

③若函数是函数的一个承托函数，则的取值范围是；

④值域是的函数不存在承托函数.

其中正确的命题的个数为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前项和满足： ， .

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，求证： .

18. 难度：中等

某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位： ）的数据，如下表：

x	2	5	8	9	11
y	12	10	8	8	7

（1）求出与的回归方程；

（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；

（3）设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数， 近似为样本方差，求.

附：①回归方程中， ， .

②， ，若～，则， .

19. 难度：中等

如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中， ， ， ， ．

（1）若是线段上的点且满足，求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆和抛物线有公共焦点， 的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）．

（1）若，求直线的方程；

（2）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．

21. 难度：困难

已知函数， ．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中， ），若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆相交于点（点不是原点）．

（1）求点的极坐标；

（2）设直线过线段的中点，且直线交圆于两点，求的最大值．

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

（1）解不等式；

（2）若满足（1）中不等式，求证： ．