Question

定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数，给出如下命题：

①函数是函数的一个承托函数；

②函数是函数的一个承托函数；

③若函数是函数的一个承托函数，则的取值范围是；

④值域是的函数不存在承托函数.

其中正确的命题的个数为__________．

Answer

2

【解析】【解析】

①,∵x>0时,f(x)=lnx∈(−∞,+∞)，

∴不能使得f(x)⩾g(x)=−2对一切实数x都成立，故①错误；

②,令t(x)=f(x)−g(x),则t(x)=x+sinx−(x−1)=sinx+1⩾0恒成立,故函数g(x)=x−1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数，②正确；

③,令h(x)=ex−ax,则h′(x)=ex−a，

由题意，a=0时，结论成立；

a≠0时,令h′(x)=ex−a=0，则x=lna，

∴函数h(x)在(−∞,lna)上为减函数,在(lna,+∞)上为增函数，

∴x=lna时，函数取得最小值a−alna；

∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数，

∴a−alna⩾0，

∴lna⩽1，

∴0