2016-2017学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学（理）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

命题“，都有”的否定为（ ）

A. 不存在，使得    B. ，都有

C. ，使得    D. ，使得

2. 难度：简单

给出命题：若方程表示椭圆，则.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

命题：若，则；命题：，使得，则下列命题为真命题的是（ ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：简单

已知，若向量共面，则（ ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：简单

平面内有两定点及动点，设命题甲：“与之差的绝对值是定值”，命题乙：“点的轨迹是以为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（ ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：简单

已知命题，命题.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：简单

已知空间向量，若与垂直，则等于（ ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）

A.     B.

C.     D.

10. 难度：简单

在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：中等

设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为实数，关于点的轨迹下列说法正确的是（ ）

A. 当时，轨迹为焦点在轴上的椭圆（除与轴的两个交点）

B. 当时，轨迹为焦点在轴上的椭圆（除与轴的两个交点）

C. 当时，轨迹为焦点在轴上的双曲线（除与轴的两个交点）

D. 当时，轨迹为焦点在轴上的双曲线（除与轴的两个交点）

12. 难度：压轴

已知双曲线，分别为其左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

抛物线的焦点坐标为__________．

14. 难度：简单

已知在空间四边形中，点在上，且，为中点，用表示，则等于__________．

15. 难度：简单

过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为__________．

16. 难度：中等

下列四个命题：①“，则全为”的逆否命题是“若全不为”，则”；②已知曲线的方程是，曲线是椭圆的充要条件是；③“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件；④已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为.上述命题中真命题的序号为__________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知实数，设命题：函数在上单调递减；命题：不等式的解集为，如果为真，为假，求的取值范围.

18. 难度：中等

已知抛物线截直线所得弦长.

（1）求的值；

（2）设是轴上的点，且的面积为，求点的坐标.

19. 难度：中等

如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，分别是的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求直线与平面所成角的大小.

20. 难度：中等

已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点作斜率为的直线与曲线交于两点，是坐标原点，是否存在实数，使在以为直径的圆外？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，∥且，点为中点.

（1）求证：平面；

（2）若点为边上的动点，且，是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

22. 难度：困难

设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，椭圆的长半轴长为，短半轴长为，若，则称椭圆与椭圆是相似椭圆.已知椭圆，其左顶点为，右顶点为.

（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；

（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，当为何值时，取得最小值，试求出最小值；

（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆，椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上.