Question

设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，椭圆的长半轴长为，短半轴长为，若，则称椭圆与椭圆是相似椭圆.已知椭圆，其左顶点为，右顶点为.

（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；

（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，当为何值时，取得最小值，试求出最小值；

（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆，椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上.

Answer

（1）或; （2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；
（2）求得 的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为 ，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；
（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为 ，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．

试题解析：

（1）由题意得或，分别解得或.

（2）由题意知：，，直线，直线，

联立方程，

整理得：.

因为直线与椭圆仅有一个公共点，

所以. ①

联立方程，

整理得：.

因为直线与椭圆仅有一个公共点，

所以. ②

由 ①②得：.

所以，

此时，即.

（3）由题意知：，

所以，且.

设垂心，则，

即 .

又点在上，有 ，.

则 ，

所以的垂心在椭圆上.