2016-2017学年安徽省阜阳市高二1月学科竞赛数学（理）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（    ）

A. 若，则    B. 若，则    C. 若，则    D. 若，则

2. 难度：简单

双曲线的渐近线方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

下列命题中是假命题的是（    ）

A. 对任意，    B. 对任意，

C. 存在，使    D. 存在，使

4. 难度：简单

在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（    ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：简单

公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（    ）

A. 1    B. 2    C. 4    D. 8

6. 难度：简单

若是实数，则“且”是“对任意，有”的（    ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（    ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：简单

定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（   ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（    ）条

A. 0    B. 1    C. 2    D. 无数个

11. 难度：中等

若直线过点，则的最小值等于（    ）

A. 5    B.     C. 6    D.

12. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：中等

不等式的解集为__________．

14. 难度：中等

在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．

15. 难度：简单

在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．

16. 难度：中等

设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．

三、解答题

17. 难度：简单

某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：

（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；

（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.

18. 难度：中等

解关于的不等式组.

19. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值.

20. 难度：中等

已知数列的前项和为，且.

（1）若数列是等比数列，求的取值；

（2）求数列的通项公式；

（3）记，求数列的前项和.

21. 难度：中等

如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

22. 难度：困难

已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.

（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）已知为原点，求证：为定值.