Question

已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.

（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）已知为原点，求证：为定值.

Answer

（1）， ， ;（2）或;（3）为定值.

【解析】试题分析：（1）将代入，得，由此能求出抛物线方程和焦点坐标；（2）设，及直线的方程，联立方程组结合韦达定理得，，由即，代入得的值，故可得其直线方程；（3）设，，写出直线的点斜式方程，将代入得，同理可得，利用整体代换思想得可得结果.

试题解析：（1）将代入，得，

所以抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.

（2）设，，

设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得：

，

则由韦达定理得：

，.

由得，，又，，

所以，，

所以，，

所以，，解得，

所以，所求直线方程为或.

（3）设，，

直线的方程为：，即，

令，得，

同理可得：，又，，

.

所以，即为定值.