Question

如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析; （2）.

【解析】试题分析：（1）取的中点为，由已知得，，从而面，由此能证明平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的余弦值.

试题解析：（1）证明：由题意可得为等边三角形，取的中点为，

则，，

，

，

又，，

面，又，

所以平面平面.

（2）如图建立空间直角坐标系，

则，，，

设面的法向量为，面的法向量，

由，即，取，则，，

；

由，即，取，则，，

，

，

所以二面角的余弦值为.

点睛：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用；证明面面垂直主要是通过线面垂直即在其中一个面内找一条线垂直于另外一个面，在用空间向量解决二面角问题是，主要是通过两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．