2017届江苏南京市盐城高三一模考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则        .

2. 难度：简单

设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为        .

3. 难度：简单

已知样本数据的方差，则样本数据的方差为         .

4. 难度：简单

如图是一个算法流程图，则输出的x的值是    ..

5. 难度：简单

在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为        .

6. 难度：简单

已知实数满足，则的最小值是        .

7. 难度：简单

设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为        .

8. 难度：简单

设是等差数列，若，则        .

9. 难度：简单

将函数的图象向右平移（）个单位后，所得函数为偶函数，则        .

10. 难度：简单

将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是        .

11. 难度：中等

在中，已知，，则的最大值为        .

12. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点、，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是        .

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点为函数的图象与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点，则的最大值为        .

14. 难度：简单

在中，所对的边分别为，若，则面积的最大值为        ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，,分别是,的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面．

16. 难度：中等

在中，,,分别为内角,,的对边，且．

（1）求角；

（2）若，求的值.

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.

18. 难度：中等

如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.

（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？

（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）

19. 难度：中等

设函数，（）.

（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）

20. 难度：中等

若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.

（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.

①当时，求；

②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

21. 难度：简单

如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，分别交半圆于点.若，，，求的长.

22. 难度：简单

设矩阵的一个特征值对应的特征向量为 ，求与的值.

23. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系中，已知直线为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点，求弦的长.

三、选择题

24. 难度：简单

(选修4-5：不等式选讲）

若实数满足，求的最小值.

四、解答题

25. 难度：中等

某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.

（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E(X).

26. 难度：中等

设，，.

（1）求值：

①；

②（）；

（2）化简：.