Question

如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.

（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？

（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）

Answer

（Ⅰ）能（Ⅱ）米且米

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由条件知研究直线与圆相切，所以建立坐标系：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，，确定圆的方程，求出切线方程，解出切线与直线交点，最后判断是否满足不超过米这个条件（Ⅱ）同（1）建立坐标系，设立圆的方程：圆心为，半径为，求出切线方程，解出切线与直线交点，根据 不超过米这个条件列参数限制条件，最后根据活动中心的截面面积关系式求最值：

试题解析：【解析】
如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

（1）因为，，所以半圆的圆心为，

半径．设太阳光线所在直线方程为，

即， ...............2分

则由，

解得或（舍）.

故太阳光线所在直线方程为， ...............5分

令，得米米.

所以此时能保证上述采光要求. ...............7分

（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．

方法一：设太阳光线所在直线方程为，

即，由，

解得或（舍）. ...............9分

故太阳光线所在直线方程为，

令，得，由，得. ...............11分

所以

.

当且仅当时取等号.

所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. .............16分

方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，

设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y－＝－(x－30)，

即． ........10分

由直线与半圆H相切，得．

而点H(r，h)在直线的下方，则3r＋4h－100＜0，

即，从而． ...............13分

又.

当且仅当时取等号.

所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...........16分

考点：直线与圆位置关系

【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．