Question

在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先确定交点位置：在轴上，再根据圆与轴交点得等量关系：；又,所以（Ⅱ）设，表示，然后根据直线与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理表示中点坐标，并利用条件化简：，，最后代入并利用条件化简得

试题解析：【解析】
（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，

又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距， ……………3分

所以，即，所以椭圆的方程为. ……………6分

（2）方法一：设，，，

联立，消去，得，

所以，又，所以，

所以，， ……………10分

则. …………14分

方法二：设，，， 则，

两式作差，得，

又，，∴，∴，

又，在直线上，∴，∴，①

又在直线上，∴，②

由①②可得，. ……………10分

以下同方法一.

考点：直线与椭圆位置关系

【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.