2012-2013学年浙江省衢州一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={x||x|≤2}，N={x|x²-3x=0}，则M∩N等于（ ）
A．{3}
B．{0}
C．{0，2}
D．{0，3}

2. 难度：中等

“sinx=1”是“cosx=0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=1，则a₁₂的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64

4. 难度：中等

对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（ ）
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

5. 难度：中等

已知向量与的夹角为120°，，则等于（ ）
A．5
B．4
C．3
D．1

6. 难度：中等

已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=20，三角形面积为，A=60°，则 a=（ ）
A．7
B．8
C．5
D．6

8. 难度：中等

已知正数x、y满足，则z=的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f （x）=，又a是函数g （x）=的正零点，则f（-2），f（a），f（1.5）的大上关系是（ ）
A．f（1.5）＜f（a）＜f（-2）
B．f（-2）＜f（1.5）＜f（a）
C．f（a）＜f（1.5）＜f（-2）
D．f（1.5）＜f（-2）＜f（a）

10. 难度：中等

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），且A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f[f（x）]，x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为（ ）
A．A=B
B．A⊊B
C．B⊊A
D．A∩B=φ

二、填空题

11. 难度：中等

计算：（cos75°+sin75°）（cos75°-sin75°）=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=|4x-x²|-a有四个零点，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2AB，若E，F分别为线段A₁D₁，CC₁的中点，则直线EF与平面ABB₁A₁所成角的余弦值为_    ．

14. 难度：中等

设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上f（x）=    ．

15. 难度：中等

已知：a_n=2^n-1 则10a₁+9a₂+8a₃+…+3a₈+2a₉+a₁₀=    ．

16. 难度：中等

已知点O为△ABC的外心，且，则=    ．

17. 难度：中等

已知函数在上恒为正，则实数a的取值范围    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2π+ϕ）（-π＜ϕ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n-1-2n+1（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和S_n
（1）求a_n，S_n；           
（2）令，求证数列{b_n}的前n项和；
（3）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式恒成立，这样的正整数m共有多少个？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x．
（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β-α＜6．