Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和S_n
（1）求a_n，S_n；           
（2）令，求证数列{b_n}的前n项和；
（3）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式恒成立，这样的正整数m共有多少个？

Answer

（1）等差数列{an}，首项为a1，设公差为d，代入a3=7，a5+a7=26，求出d和首项，根据等差数列的性质，求出an，Sn；
（2）把通项公式an，代入bn，利用裂项法求出其前n项和，再进行证明；
（3）集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，一共有500个元素，因为存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式①，把Sn和an代入①，求出n的范围，再求出满足集合M的元素；
【解析】
（1）∵等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，等差数列为d，
∴a1+2d=7①，2a1+10d=26②，
由①②可得，a1=3，d=2，
∴an=3+（n-1）×2=2n+1，
Sn===n（n+2）；
（2）bn===（）
Tn=（1-+-+…+）=（1-）＜；
（3）集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，
存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式恒成立，
∴4×n×（n+2）-8047＞（2n+1）2，
推出4n＞8048，解得n＞2012，
∴2k＞2012，解得k＞1006，
∴M={1006，1007，…，1499}，
一共有1499-1006+1=494，
∴这样的正整数m共有494个；