2012-2013学年广东省汕头市金山中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin660°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-

2. 难度：中等

设x∈R，那么“x＜0”是“x≠3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

已知单位向量满足，则夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤），且此函数的图象如图所示，由点P（ω，φ）的坐标是（ ）

A．（2，）
B．（2，）
C．（4，）
D．（4，）

5. 难度：中等

函数y=e^|lnx|-|x-1|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知x，y满足线性约束条件，若=（x，-2），=（1，y），则z=•的最大值是（ ）
A．-1
B．
C．7
D．5

7. 难度：中等

若函数f（x）的零点与g（x）=4^x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（ ）
A．f（x）=4x-1
B．f（x）=（x-1）²
C．f（x）=e^x-1
D．f（x）=ln（x-）

8. 难度：中等

对于下列命题：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②已知a，b，c是△ABC的三边长，若a=2，b=5，，则△ABC有两组解；
③设，，，则a＞b＞c；
④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量，，．若λ为实数，（），则λ=    ．

10. 难度：中等

设的最大值为16，则θ=    ．

11. 难度：中等

已知sin（a+）+sina=-，-＜a＜0，则cos（a+）等于    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，，，则cosB=    ．

13. 难度：中等

若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

函数．给出函数f（x）下列性质：（1）函数的定义域和值域均为[-1，1]；（2）函数的图象关于原点成中心对称；（3）函数在定义域上单调递增；（4）（其中A为函数的定义域）；（5）A、B为函数f（x）图象上任意不同两点，则．请写出所有关于函数f（x）性质正确描述的序号    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知集合A={x||x-a|＜2}，．
（Ⅰ）若a=1，求集合A、集合B；
（Ⅱ）若A∪B=R，求a的取值范围．

16. 难度：中等

在直角坐标系中，已知A（cosx，sinx），B=（1，1），O为坐标原点，，f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的对称中心的坐标及其在区间[-π，0]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）=3+，x，求tanx的值．

17. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

18. 难度：中等

已知函数，g（x）=-x²+2x+b
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对∀x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在（0，m），（n，+∞）上单调递增，在（m，n）上单调递减，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．

20. 难度：中等

已知函数的单调递增区间为[m，n]
（1）求证f（m）f（n）=-4；
（2）当n-m取最小值时，点p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n），是函数f（x）图象上的两点，若存在x使得f′（x）=，x求证x₁＜|x|＜x₂．