2011-2012学年山东省济南市高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合，则A∩B=（ ）
A．（-∞，0）
B．（-∞，1）
C．[1，+∞）
D．（1，3]

2. 难度：中等

已知，则sinα=（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对

3. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（-∞，1）
B．（0，1]
C．（0，1）
D．（0，+∞）

4. 难度：中等

下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y=x+x³（x∈R）
B．y=3^x（x∈R）
C．y=-log₂x（x＞0，x∈R）
D．y=-（x∈R，x≠0）

5. 难度：中等

已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（ ）
A．135°
B．45°
C．135°或45°
D．60°

6. 难度：中等

复数z满足（1-2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（ ）
A．1+3i
B．1-3i
C．3+i
D．3-i

7. 难度：中等

设f（x）=ax³+3x²+2，若f′（-1）=4，则a的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃a₉=2，a₂=2，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．2

9. 难度：中等

已知向量=（2，x），=（x，8），若∥，则x=（ ）
A．-4
B．4
C．±4
D．16

10. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
B．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C．命题“∃x∈R，使得2x²-1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x²-1＜0”
D．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题

11. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

12. 难度：中等

O是△ABC所在的平面内的一点，且满足（-）•（+-2）=0，则△ABC的形状一定为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．斜三角形

13. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于y轴对称，则（ ）
A．f（0）＞f（3）
B．f（0）=f（3）
C．f（-1）=f（3）
D．f（-1）＜f（3）

14. 难度：中等

在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

15. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由函数g（x）=sinx的图象（纵坐标不变）（ ）

A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
B．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
C．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

16. 难度：中等

f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x、y∈R都有f（x）f（y）=f（x+y），若a₁=，，则数列{a_n}的前n项和S_n为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．（-∞，-3）

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=36，a_n+1=a_n+2n，则 的最小值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13

二、填空题

19. 难度：中等

已知向量•=-5，且||=2，||=5，则＜，＞=    ．

20. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₇=7a₄，则=    ．

21. 难度：中等

已知函数f（n）=，其中n∈N，则f（8）等于    ．

22. 难度：中等

设z=x+y，其中x，y满足，当z的最大值为6时，k的值为    ．

23. 难度：中等

已知依次成等比数列，则x在区间[0，2π）内的解集为    ．

24. 难度：中等

下列命题中，真命题的序号有    ．（写出所有真命题的序号）
①当x＞0且x≠1时，有lnx+；
②函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-}；
③函数f（x）=e^-xx²在x=2处取得极大值；
④若sin（α+β）=，sin（α-β）=，则tanαcotβ=5．

三、解答题

25. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的最大值，并指出取得最大值时相应的x的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

26. 难度：中等

设函数f（x）=ln（x²+ax+1）的定义域为A．
（Ⅰ）若1∈A，-3∉A，求实数a的范围；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

27. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a²=b²+c²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．

28. 难度：中等

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等比数列{b_n}满足：b₁=a₁，b₂=a₂-1，若数列c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

29. 难度：中等

设函数y=f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象在x=0处的切线方程为24x+y-12=0．
（Ⅰ）求c，d；
（Ⅱ）若函数在x=2处取得极值-16，试求函数解析式并确定函数的单调区间．

30. 难度：中等

已知平面向量，
（1）证明：；
（2）若存在实数k和t，满足，，且，试求出k关于t的关系式，即k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，试求出函数k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

31. 难度：中等

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

32. 难度：中等

济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设f（n）表示前n年的纯收入．（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）
（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；
②纯利润最大时，以160万元出售该企业；
问哪种方案最合算？

33. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）．
（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x），在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），
f₂（x）的“活动函数”．
已知函数．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，
求a的取值范围．