2009-2010学年四川省成都市七校协作体高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若C₈ⁿ=C₈²，则n 的值为（ ）
A．2
B．6
C．4
D．2或6

2. 难度：中等

“直线a，b是异面直线”是“直线a，b无公共点”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件

3. 难度：中等

设l、m、n是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列三个命题中正确的命题是（ ）
（1）l∥β，α∥β，则l∥α；
（2）若l∥n，m∥n，则l∥m；
（3）若 l⊥α，m⊥β，α⊥β，则l⊥m．
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（1）（2）（3）

4. 难度：中等

正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．140种
B．120种
C．35种
D．34种

6. 难度：中等

边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折叠成直二面角后，AC的长为（ ）
A．a
B．a
C．
D．a

7. 难度：中等

二面角α-l-β的大小为120°，A、B∈l，aAC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=AC=BD=2，则CD的长为（ ）
A．2
B．4
C．2
D．2

8. 难度：中等

2010年4月14日7时49分40秒，青海省玉树藏族自治州玉树县发生7.1级地震，在灾后第一时间，我县红十字会就组织3名医生和4名护士奔赴灾区，全部安排到受灾较严重的3所学校救助受伤师生，要求每校至少安排1名医生和1名护士，不同的安排方法共有（ ）
A．72种
B．216种
C．324种
D．504种

9. 难度：中等

设（3+x）^s=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_s（x+1）^s，则a+a₁+a₂+…+a_s的值为（ ）
A．3^s
B．4^s
C．4^s-3^s
D．3^s-2^s

10. 难度：中等

将有编号为1，2，3，4，5的五个球放入有编号为1，2，3，4，5的五个盒子，要求每盒内放一个球，则恰好有两个球的编号与盒子的编号相同的放法有（ ）
A．20种
B．30种
C．60种
D．120种

二、填空题

11. 难度：中等

（1-2x）⁵的展开式中x³的项的系数是    （用数字表示）

12. 难度：中等

某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种    种．（结果用数值表示）

13. 难度：中等

已知球面上有三点A，B，C且AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm，若球心到平面ABC距离为7cm，则此球的表面积为    cm³．

14. 难度：中等

下列所有命题：
（1）过空间内任意一点，可以作一个和异面直线a，b都平行的平面；
（2）如果a，b是异面直线，过直线a有且只有一个平面和b平行；
（3）有两个侧面是矩形的平行六面体是直四棱柱；
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（5）一个正棱锥的各个侧面都是正三角形，则它只能是正三棱锥、正四棱锥或正五棱锥．
其中真命题的序号是    ．（填上所有真命题的序号）

三、选择题

15. 难度：中等

若正四棱锥的全面积是底面积的3倍，则侧面与底面所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．π

16. 难度：中等

已知二面角α-l-β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（

A．1
B．2
C．
D．4

四、解答题

17. 难度：中等

7名身高各不相同的学生按下列要求从左到右站成一排，求出各条件下的站法种数．（要求写出必要的解答过程，最后结果用数字表示）
（1）甲不能站在两端；
（2）甲不能站在左端，乙不能站在右端；
（3）甲乙要相邻，且丙丁要隔开；
（4）从正中间到两边都按从高到矮的顺序站立．

18. 难度：中等

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：
（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的大小．

19. 难度：中等

已知（+3x²）ⁿ（n∈N）的展开式中，名项系数的和与其各项二项式系数和的比值为32．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项．

20. 难度：中等

如图所示，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DCAB∥DC，且满足
DC-DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

21. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为60°，求λ的值．

22. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为的菱形，∠AA₁C₁为锐角，侧面ABB1A1⊥AA1C1C，且A1B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求A1到平面ABC的距离；
（Ⅲ）求二面角B-AC-C1的余弦值．