2009-2010学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数Z₁=3+i，Z₂=1-i，其中i是虚数单位，则Z=Z₁•Z₂在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-3x-10＜0}，B={x|x＞3}，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．（3，5）
B．（-2，+∞）
C．（-2，5）
D．（5，+∞）

3. 难度：中等

已知直线l₁：2x-my+1=0与l₂：x+（m-1）y-1=0，则“m=2”是“l₁⊥l₂”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

下列函数中，周期为π的偶函数是（ ）
A．y=cos
B．
C．
D．y=tan

5. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-3n（n∈N*），则a₄=（ ）
A．11
B．15
C．17
D．20

6. 难度：中等

如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（ ）
A．96cm³
B．80cm³
C．（80+16）cm³
D．cm³

7. 难度：中等

函数y=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0上，其中m、n＞0，则的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6

8. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-3，+∞），且f（6）=f（-3）=2．f′（x）为f（x）的导函数，f′（x）的图象如图所示．若正数a，b满足f（2a+b）＜2，则的取值范围是（ ）
A．（-，3）
B．（-∞，-）∪（3，+∞）
C．（，3）
D．（-∞，）∪（3，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则∠A=    ，△ABC的面积是    ．

11. 难度：中等

为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是    ．

12. 难度：中等

已知命题P：∃x∈R，x²+2ax+a≤0．写出﹁p：    ；若命题P是假命题，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

执行右边的程序框图，若p=0.9，则输出的n=    ．

14. 难度：中等

把数列（n∈N^*）的所有项按照从大到小的原则写成如图所示的数表，其中的 第k行有2^k-1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为A（k，s），则A（5，12）表示的数是     ；这个数可记为A（     ）．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E为A₁B₁的中点在．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（II）求二面角D-BE-C的余弦值．

16. 难度：中等

已知向量a=（sinx，cos），b=（cosx，sinx-2cosx），0＜x＜．
（Ⅰ）若a∥b，求x；
（Ⅱ）设f（x）=a•b，函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？

17. 难度：中等

某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m-n|＞10”概率．

18. 难度：中等

已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交与M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．
（I）求圆A的方程；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（I）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p&，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．
（1）求数列{a_n}前2009项的和；
（2）是否存在实数t，使得数列{a_n}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．