2008-2009学年福建省泉州市惠安县惠南中学高二（下）期初数学试卷（选修2-1）（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于抛物线y=4x²，下列描述正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线开口向下
C．抛物线开口向左
D．抛物线开口向右

2. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∀x∈R，x＞0
B．∀x∈R，x²+1≠0
C．∃x∈R，x²≤-1
D．如果x＜2，那么x＜1

3. 难度：中等

已知点A（2，0，-3），B（4，2，1），点P是线段AB的中点，那么点P的坐标是（ ）
A．（3，1，-1）
B．（3，1，-2）
C．（4，1，-2）
D．（-3，1，-1）

4. 难度：中等

已知命题p：“如果a＞b，那么2^a＞2^b”的否命题是（ ）
A．如果a≤b，那么2^a≤2^b
B．如果a＜b，那么2^a＜2^b
C．如果2^a≤2^b，那么a≤b
D．如果2^a＞2^b，那么a＞b

5. 难度：中等

抛物线y²=10x的焦点到准线的距离是（ ）
A．
B．5
C．
D．10

6. 难度：中等

双曲线4x²-y²=1的渐近线方程是（ ）
A．y=±2
B．y=±4
C．
D．

7. 难度：中等

已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

8. 难度：中等

如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是，那么（ ）
A．l⊥α
B．l∥α
C．l⊂α
D．l与α斜交

9. 难度：中等

抛物线x²=4y上与焦点的距离等于4的点的纵坐标是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

“ab＞0”是“方程ax²+by²=1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

12. 难度：中等

经过点P（3，-1）且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．x²-y²=10
B．y²-x²=10
C．x²-y²=8
D．y²-x²=8

13. 难度：中等

椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10

15. 难度：中等

若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．，
B．
C．
D．

二、填空题

16. 难度：中等

已知，，且，那么x的值等于    ．

17. 难度：中等

椭圆的一个焦点是（3，0），那么k=    ．

18. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-2x+1＜0”的否定是    ．

19. 难度：中等

以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且被抛物线的准线截得的弦长为2的圆的方程是    ．

20. 难度：中等

如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且过点P（2，3），求双曲线的渐近线及椭圆的方程．

22. 难度：中等

如图，在空间四边形OABC中，M，G分别是BC，AM的中点，设，，．
（1）用基底表示向量；
（2）若，且与、夹角的余弦值均为，与夹角为60°，求．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

24. 难度：中等

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

25. 难度：中等

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积．