2009-2010学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

条件p：x＞2，y＞3，条件q：x+y＞5，xy＞6，则条件p是条件q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知=（1，-3，λ），=（2，4，-5），若⊥，则λ=（ ）
A．-4
B．-2
C．2
D．3

3. 难度：中等

等轴双曲线过点（1，2），则它的焦点坐标为（ ）
A．（0，±6）
B．（±6，0）
C．（0，）
D．（，0）

4. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x²+x-m=0无实数根，则m≤0”
B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
D．若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题

5. 难度：中等

一元二次方程ax²+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜-1
D．a＞1

6. 难度：中等

设椭圆的标准方程为，其焦点在x轴上，则k的取值范围是（ ）
A．4＜k＜5
B．3＜k＜5
C．k＞3
D．3＜k＜4

7. 难度：中等

动点A在圆x²+y²=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．（x+3）²+y²=4
B．（x-3）²+y²=1
C．（2x-3）²+4y²=1
D．（x+3）²+y²=

8. 难度：中等

过点（0，2）与抛物线y²=8x只有一个公共点的直线有（ ）
A．无数多条
B．3条
C．2条
D．1条

9. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，则AC₁与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为a，则点C₁到平面A₁BD的距离是（ ）
A．a
B．a
C．a
D．a

11. 难度：中等

斜率为2的直线l过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A．e＜
B．1＜e＜
C．1＜e＜
D．e＞

12. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与△ABC的位置关系是（ ）
A．P在AB边上
B．P在AC边上或其延长线上
C．P在△ABC的内部
D．P在△ABC的外部

二、填空题

13. 难度：中等

命题p：“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，则￢p：    ．

14. 难度：中等

已知向量不共面，向量，，共面，则x=    ．

15. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，-2）平分，则这条弦所在的直线方程是    ．

16. 难度：中等

从双曲线的左焦点F引圆x²+y²=36的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

命题p：4x²+4（m-2）x+1=0无实根，命题q：在区间（0，+∞）上是减函数，若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+1与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，P是弦AB的中点，OP的斜率为（其中O为原点），求k的值．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M是A₁B的中点．
（Ⅰ）在线段B₁C₁上是否存在一点N，使得MN⊥平面A₁BC？若存在，找出点N的位置幷证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求平面A₁AB和平面A₁BC所成角的大小．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M，N分别是PC，PB的中点．
（1）求证：DP∥平面ANC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；
（3）求点B到平面ANC的距离．

22. 难度：中等

已知：直线x+y=1交椭圆mx²+ny²=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）
（1）求证：椭圆过定点；
（2）若椭圆的离心率在上变化时，求椭圆长轴的取值范围．