Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M，N分别是PC，PB的中点．
（1）求证：DP∥平面ANC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；
（3）求点B到平面ANC的距离．

Answer

（1）连接BD，AC，令BD∩AC=0，连接NO，根据菱形的几何特征，结合三角形中位线定理，可得PD∥NO，结合线面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）取AD中点E，连接PE，BE，BD，结合已知中ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E为AD的中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得BE⊥AD，结合PE⊥AD及线面垂直的判定定理，即可得到AD⊥平面PBE，又由线面垂直的性质得AD⊥PB，再由AN⊥PB，由线面垂直的判定定理得PB⊥平面ADMN，最后由面面垂直的判定定理得平面PBC⊥平面ADMN；
（3）以E为原点，以EA，EB，EP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面ANC的法向量和直线AB的方向向量，代入，即可得到答案．
证明：（1）连接BD，AC，设BD∩AC=0，连接NO
∵ABCD是边长为2的菱形，
∴O为BD的中点，又由N为PB的中点
∴PD∥NO
又∵NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC
∴PD∥平面ANC
（2）取AD中点E，连接PE，BE，BD
∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°
∴△ABD为正三角形，又由E为AD的中点
∴BE⊥AD
又∵PE⊥AD，PE∩BE=E
∴AD⊥平面PBE
又由PB⊂平面PBE
∴AD⊥PB
又∵PA=PB，N为PB的中点，
∴AN⊥PB
又由AD∩AN=A
∴PB⊥平面ADMN，而PB⊂平面ADMN
∴平面PBC⊥平面ADMN；
（3）∵PE⊥AD，侧面PAD与底面ABCD垂直
∴PE、EA、EB两两互相垂直
以E为原点，以EA，EB，EP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，，0），C（-2，，0），N（0，，），
则=（-3，，0），=（-1，，），=（-1，，0），
设平面ANC的一个法向量为=（1，y，z）
由•=0，•=0，解得=（1，，-）
则点B到平面ANC的距离…（12分）