2009年上海市黄浦区格致中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设全集I=R，集合，则C_IA=    ．

2. 难度：中等

复数的实部与虚部的和为    ．

3. 难度：中等

以双曲线的中心为顶点，以右焦点为焦点的抛物线的方程为    ．

4. 难度：中等

若，则tan2α=    ．

5. 难度：中等

与直线2x+y+3=0垂直，且点P（2，1）到它的距离为的直线的一般式方程为    ．

6. 难度：中等

已知（a+x）⁵的展开式中x²的系数为的展开式中x的系数为k₂，则k₁•k₂    ．

7. 难度：中等

某校选派A、B两个班参加一次社会活动，其中A班有学生40名，其中男生24人；B班有学生50名，其中女生30人，现从A、B两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为    ．

8. 难度：中等

设且a≥0，b≥0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则4^a+2^1+b的最小值为    ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}对于任意的p、q∈N^*，满足a_p+q=a_p+a_q且a₂=2，则=    ．

10. 难度：中等

点P为双曲线上一点，F₁，F₂为它的左、右两个焦点，PQ是∠F₁PF₂的角分线．过F₁作PQ的垂线，垂足为R，点O为坐标原点，则|OR|=    ．

11. 难度：中等

f（x）=，则f（1°）+f（2°）+…+f（58°）+f（59°）=    ．

12. 难度：中等

对于函数，存在一个正数b，使得f（x）的定义域和值域相同，则非零实数a的值为    ．

二、选择题

13. 难度：中等

函数（x∈[0，π]）的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

设F₁、F₂是曲线的焦点，P是曲线与C₁的一个交点，则cos∠F₁PF₂的值为（ ）
A．等于零
B．大于零
C．小于零
D．以上三种情况都有可能

15. 难度：中等

下列函数：①；    ②y=-log₂x；    ③；   ④y=x³．其中原函数的图象与其反函数的图象有三个交点的函数为（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④

16. 难度：中等

已知函数，那么以下的论述中正确的是（ ）
A．f（x）有最大值，无最小值
B．f（x）有最小值，无最大值
C．f（x）既有最大值又有最小值
D．f（x）既无最大值也无无最小值

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-2n²+5n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）如果两个互不相等的正整数n₁，n₂满足（q为正整数），试比较与S_q的大小，并说明理由．

18. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球面的表面积为3π，且A₁C⊥平面BDC₁，
（1）求此四棱柱的体积；
（2）如图，AC与BD交于点E，CB₁与C₁B交于点F，求平面BEF与平面CEF所成的锐二面角的大小．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的周长为16，求此三角形面积的最大值．

20. 难度：中等

我们将点P（x，y）经过矩阵的变换得到新的点P'（x'，y'）称作一次运动，即：．
（1）若点P（3，4）经过矩阵变换后得到新的点P'，求出点P'的坐标，并指出点P'与点P的位置关系；
（2）若函数（x≥0）的图象上的每一个点经过（1）中的矩阵A变换后，所得到图象对应函数y=g（x），试研究在y=g（x）上是否存在定义域与值域相同的区间[m，n]，若存在，求出满足条件的实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知点E、F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为．
（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；
（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k_AB；
（3）反思（2）题的解答，当△MAB的面积取得最大值时，探索（2）题的结论中直线AB的斜率k_AB和OM所在直线的斜率k_OM之间的关系．由此推广到点M位置的一般情况或椭圆的一般情况（使第（2）题的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决．
[说明：本小题将根据你所提出的猜想或问题的质量分层评分]．