Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球面的表面积为3π，且A₁C⊥平面BDC₁，
（1）求此四棱柱的体积；
（2）如图，AC与BD交于点E，CB₁与C₁B交于点F，求平面BEF与平面CEF所成的锐二面角的大小．

Answer

（1）以CD，CB，CC1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设根据条件可知正四棱柱为正方体，从而可求正方体的体积（2）由（1）可知：为平面BEF的一个法向量，且，同理可证为平面CEF的一个法向量，且，从而可求平面BEF与平面CEF所成的锐二面角的大小
【解析】
（1）以CD，CB，CC1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=a，AA1=b，则D（a，0，0），A（a，a，0），
B（0，a，0），C1（0，0，b），A1（a，a，b）------------------------------分2分
∴
由A1C⊥平面BDC1可得：即-a2+a2=0显然成立，------4分
及即-a2+b2=0，
可得：a=b即此正四棱柱为正方体------------6分
由外接球表面积为4πr2=3π，可得：----------------------------------7分
∴求得正方体的棱长为1，∴正方体的体积为1；-----------------8分
（2）由（1）可知：为平面BEF的一个法向量，且----------------9分
同理可证为平面CEF的一个法向量，且--------------------10分
∵--------------------------13分
∴平面BEF与平面CEF所成的锐二面角的大小为---------------------14分