2011年江苏省无锡市滨湖区高考数学模拟试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z满足（i是虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

已知集合A={x|6x+a＞0}，若1∉A，则实数a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

命题p：函数y=tanx在R上单调递增，命题q：△ABC中，∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件，则p∨q是    命题．（填“真”“假”）

4. 难度：中等

某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了n位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n=    ．

5. 难度：中等

把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一个解的概率为    ．

6. 难度：中等

如果f（tanx）=sin²x-5sinx•cosx，那么f（5）=    ．

7. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点在圆x²+y²-4x-5=0上，则双曲线的渐近线方程为    ．

8. 难度：中等

程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a=    ．

9. 难度：中等

将函数y=sin（2x+）的图象向左最少平移    个单位，可得一个偶函数的图象．

10. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β
其中正确命题的序号是    ．

11. 难度：中等

某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为   

1	1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	6	…
1	3	5	7	9	11	…
1	4	7	10	13	16	…
1	5	9	13	17	21	…
1	6	11	16	21	26	…
…	…	…	…	…	…	…

12. 难度：中等

在△ABC中，A（1，1），B（4，5），C（-1，1），则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=    ．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）-2在上有两个不同的零点，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知△ABC的面积S满足，且=-8．
（Ⅰ）求角A的取值范围；
（Ⅱ）若函数，求f（A）的最大值．

16. 难度：中等

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．
（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；
（Ⅱ）现发现BC边上距点C的处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．

17. 难度：中等

如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，试证明：当点P（m，n）在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．

18. 难度：中等

各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，单调增数列{b_n}的前n项和为S_n，a₄=b₃，且6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令（n∈N^*），求使得c_n＞1的所有n的值，并说明理由．
（Ⅲ） 证明{a_n}中任意三项不可能构成等差数列．

19. 难度：中等

由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量P（t）（单位：吨）与上市时间t（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE表示，销售价格Q（t）（单位：元/千克）与上市时间t（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR表示（H为顶点）．
（Ⅰ）请分别写出P（t），Q（t）关于t的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线 围成的平面区域为M，动点P（x，y）在M内（包括边界），求z=x-5y的最大值；
（Ⅲ） 由（Ⅱ），将动点P（x，y）所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1≤2x-3y≤3类比为），试列出P（x，y）所满足的条件，并求出相应的最大值．

20. 难度：中等

如果实数x，y，t满足|x-t|≤|y-t|，则称x比y接近t．
（Ⅰ）设a为实数，若a|a|比a更接近1，求a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）=ln，证明：比更接近0（k∈Z）．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
求证：AD的延长线平分∠CDE．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₁=，属于特征值5的一个特征向量为α₂=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

23. 难度：中等

已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．

24. 难度：中等

选修4-5 不等式证明选讲
设a，b，c均为正数，证明：．

25. 难度：中等

已知一口袋中共有4只白球和2只红球
（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．

26. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x²=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．
（1）求：•的值；
（2）证明：为定值．