Question

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．
（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；
（Ⅱ）现发现BC边上距点C的处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD，利用面面垂直，可得BO⊥OD，进而利用Rt△BOD中，BO=，OD=，可求BD=．
（Ⅱ）两种方案：方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，可知平面EFG∥平面ACD，从而可求原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分体积比；方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分体积比，从而可确定方案．
【解析】
（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD

∴BO⊥OD
由已知BO=，OD=在Rt△BOD中，BD=．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）．